Question

已知點P_n（a_n，b_n）都在直線L：y=2x+2上，P₁為直線L與x軸的交點，數列{a_n}成等差數列，公差為1（n∈N^*）．
（I）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）求證：

1

4

＜

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

＜

2

5

（n≥3，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）由題設知P₁（-1，0），a_n=-1+（n-1）×1=n-2，b_n=2（n-2）+2=2n-2．
（II）由P_n（n-2，2n-2），知|P₁P_n|=

5

（n-1），（n≥3），由此能夠證明

1

4

＜

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

＜

2

5

（n≥3，n∈N^*）．

解答：解：（I）∵P₁為直線L：y=2x+2與x軸的交點，
∴當y=0時，x=-1，即P₁（-1，0）．
∴a₁=-1，b₁=0，
∵數列{a_n}成等差數列，公差為1（n∈N^*），
∴a_n=-1+（n-1）×1=n-2，
∵點P_n（a_n，b_n）都在直線L：y=2x+2上，
∴b_n=2（n-2）+2=2n-2
（II）∵P_n（n-2，2n-2），
∴|P₁P_n|=

5

（n-1），（n≥3）
∴

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

=

1

5

[1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

]＜

1

5

[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-2)(n-1)

]=

1

5

[1+1-

1

n-1

]＜

2

5

．

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

=

1

5

[1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

]＞

1

5

[1+

1

22

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)(n)

]=

1

5

[1+

1

4

+

1

3

-

1

n

]＞

1

4

．
故

1

4

＜

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

＜

2

5

（n≥3，n∈N^*）．

點評：本題考查數列的通項公式的求法和不等式的證明，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意放縮法的合理運用．