Question

稱數(shù)列{a_n+1-a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差數(shù)列．若數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₄=24．且{a_n+1-a_n}的一階差數(shù)列為常數(shù)列2，2，2，…．
（1）求a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）設(shè)，求證：對一切n∈N₊，．

Answer 1

（1）解：由于數(shù)列{a_n+1-a_n}的一階差數(shù)列為常數(shù)列2，2，2，…，知數(shù)列{a_n+1-a_n}是公差為2的等差數(shù)列．
由（a₄-a₃）-（a₃-a₂）=2，（a₃-a₂）-（a₂-a₁）=2得a₂=8，a₃=15．（4分）
（2）解：數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項為5，公差為2的等差數(shù)列，
n≥2時，
∴，（8分）
而a₁=3也恰適合以上通項公式，故（9分）
（3）證明：對一切n∈N₊，
==（13分）
分析：（1）確定數(shù)列{a_n+1-a_n}是公差為2的等差數(shù)列，即可求得結(jié)論；
（2）數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項為5，公差為2的等差數(shù)列，由此可求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）利用裂項法求和，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查新定義，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項與求和，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．