過拋物線y2＝4x的焦點F作直線l與拋物線交于A、B．

(Ⅰ)求證：△AOB不是直角三角形；

(Ⅱ)當l的斜率為時，拋物線上是否存在點C，使△ABC為直角三角形且B為直角(B在x軸下方)？若存在，求出所有的點C；若不存在，說明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)∵焦點F為(1，0)，過點F且與拋物線交于點A、B的所有直線可設為ky＝x－1，(也可分斜率存在與不存在兩種情況設直線方程)

　　代入拋物線y2＝4x得：y2－4ky－4＝0，則有yAyB＝－4，　　(2分)

　　進而xAxB＝．　　(4分)

　　又，

　　知∠AOB為鈍角，故△AOB不是直角三角形．　　(6分)

　　(Ⅱ)由題意得AB的方程為4x－3y－4＝0，代入拋物線y2＝4x中

　　求得A(4，4)，B(，－1)　　(8分)

　　假設拋物線上存在點C()，使△ABC為直角三角形且B為直角，

　　此時，有

　　整理得：3t2＋16t＋13＝0　　(10分)

　　解得t1＝－1對應點B，t2＝－對應點C　　(12分)

　　則拋物線上存在點C()，使△ABC為直角三角形，且B為直角．

　　故滿足條件的點C有一個：C()．　　(13分)


練習冊系列答案
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過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于1，則這樣的直線

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C.有無窮多條                            D.不存在

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在平面直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點F交拋物線于A、B兩點．
(1) 若=8，求 直線l的斜率
(2)若=m,=n.求證為定值

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A．              B．           C．             D．2

 

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在平面直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點F交拋物線于A、B兩點．

(1) 若=8，求 直線l的斜率

 (2)若=m,=n.求證為定值

 

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（12分）

過拋物線y2＝4x的焦點F作直線l，交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為3，求|AB|

 

 

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