Question

（2012•鷹潭模擬）已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設g（x）=x²-2x+2，若對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求f（x）的導數(shù)，再對參數(shù)a進行討論，利用導數(shù)函數(shù)值的正負，從而可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），等價于f（x）_max＜g（x）_max，分別求出相應的最大值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=a+

1

x

，x＞0…（2分）
當a≥0時，由于x∈（0，+∞），f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），…（4分）
當a＜0時，令f'（x）=0，得x=-

1

a

．
當x變化時，f'（x）與f（x）變化情況如下表：

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，-

1

a

），函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-

1

a

，+∞)…（6分）
（2）由已知，轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max…（8分）
因為g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[0，1]，
所以g（x）_max=2…（9分）
由（Ⅱ）知，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，值域為R，故不符合題意．
（或者舉出反例：存在f（e³）=ae³+3＞2，故不符合題意．）     …（10分）
當a＜0時，f（x）在(0，-

1

a

)上單調(diào)遞增，在(-

1

a

，+∞)上單調(diào)遞減，
故f（x）的極大值即為最大值，f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)=-1-ln(-a)，…（11分）
所以2＞-1-ln（-a），解得a＜-

1

e3

．…（12分）

點評：本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，解題的關(guān)鍵是利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性