Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃+…a_n=2n-a_n（n∈N⁺）．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{2-n}{2}（{{a_n}-2}）$，則{b_n}中的最大項的值是$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得，數(shù)列{a_n-2}構(gòu)成以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，求出其通項公式后代入b_n=$\frac{2-n}{2}（{{a_n}-2}）$，再由數(shù)列的函數(shù)特性求得{b_n}中的最大項的值．

解答 解：由a₁+a₂+a₃+…a_n=2n-a_n，得S_n=2n-a_n，
取n=1，求得a₁=1；
由S_n=2n-a_n，得S_n-1=2（n-1）-a_n-1（n≥2），
兩式作差得a_n=2-a_n+a_n-1，即${a}_{n}-2=\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-2）$（n≥2），
又a₁-2=-1≠0，
∴數(shù)列{a_n-2}構(gòu)成以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}-2=-1×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
則b_n=$\frac{2-n}{2}（{{a_n}-2}）$=$\frac{2-n}{2}•（-\frac{1}{{2}^{n-1}}）=\frac{n-2}{{2}^{n}}$，
當(dāng)n=1時，$_{1}=-\frac{1}{2}$，當(dāng)n=2時，b₂=0，當(dāng)n=3時，$_{3}=\frac{1}{8}$，
而當(dāng)n≥3時，$\frac{_{n+1}}{_{n}}=\frac{\frac{n-1}{{2}^{n+1}}}{\frac{n-2}{{2}^{n}}}=\frac{n-1}{2（n-2）}≤1$，
∴{b_n}中的最大項的值是$\frac{1}{8}$．
故答案為：$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項公式的求法，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．