Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線y=x交拋物線y=-x²+bx+c對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線于點(diǎn)P，連接PA、PC，設(shè)△AOP的面積為S₁，△COP的面積為S₂．
（1）①若A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0），（0，3），求拋物線y=-x²+bx+c的解析式；
②試判斷S₁與S₂之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）將（1）中的拋物線沿x軸正方向平移，在平移過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使S₁=2S₂，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）①若A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0），（0，3），代入可構(gòu)造關(guān)于b，c的方程，進(jìn)而可得拋物線y=-x²+bx+c的解析式；
②根據(jù)①中A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出S₁與S₂，進(jìn)而可得S₁與S₂之間的關(guān)系．
（2）假定將（1）中的拋物線沿x軸正方向平移，在平移過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使S₁=2S₂，利用反證法，可得答案．

解答： 解：（1）①若A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0），（0，3），
則

-4+2b+c=0 c=3

，
解得：

b= 1 2 c=3

，
∴拋物線y=-x²+

1

2

x+3；
②令-x²+

1

2

x+3=x，
解得：x=

3

2

，或x=-2（舍去）
則S₁=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，
S₂=

1

2

×3×

3

2

=

9

4

；
顯然

3

2

S₁=S₂．
（2）將（1）中的拋物線沿x軸正方向平移，在平移過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使S₁=2S₂，
假舍滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x），x＞0，
則S₁=

1

2

×2×x=x，
S₂=

1

2

×3×x=

3

2

x；
若S₁=2S₂，則x=3x，
解得x=0（舍去），
故不存在滿足條件的P點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．