Question

如圖，有一塊邊長(zhǎng)為15cm的正方形鐵皮，將其四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為xcm的小正方形，然后折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，若該盒子的體積最大，那么截去的小正方形的邊長(zhǎng)x是________cm．

Answer 1

分析：先利用柱體的體積計(jì)算公式求出盒子的體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍，所得結(jié)果為三次函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值即可
解答：∵截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，
∴折成的無(wú)蓋盒子底面是邊長(zhǎng)為（15-2x）cm的正方形，高是xcm．
∴盒子的體積V=x（15-2x）²，（0＜x），
V′=x′（15-2x）²+x[（15-2x）²]′=（15-2x）²-4x（15-2x）=12x²-120x+225
令V′=0，即12x²-120x+225=0，解得，x=或x=
∵0＜x，
∴x=
∵當(dāng)0＜x＜時(shí)，V′＞0，當(dāng)x＞5時(shí)，V′＜0，
∴函數(shù)V=x（15-2x）²在（0，）上是增函數(shù)，在（，）上為減函數(shù)
∴當(dāng)x=時(shí)，V有極大值．
又∵V關(guān)于x的函數(shù)在區(qū)間（0，）只有一個(gè)極大值，∴極大值也是區(qū)間（0，）上的最大值．
∴當(dāng)x=時(shí)，該盒子的體積最大．
故答案為
點(diǎn)評(píng)：本題考查了將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，求函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上的最值的方法