Question

2．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{2x+y-2≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}\right.$，則x²+y²的取值范圍是[$\frac{4}{5}$，13]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合兩點間的距離公式以及點到直線的距離公式進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，
設(shè)z=x²+y²，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方，
由圖象知A到原點的距離最大，
點O到直線BC：2x+y-2=0的距離最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），此時z=2²+3²=4+9=13，
點O到直線BC：2x+y-2=0的距離d=$\frac{|-2|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
則z=d²=（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²=$\frac{4}{5}$，
故z的取值范圍是[$\frac{4}{5}$，13]，
故答案為：[$\frac{4}{5}$，13]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及距離的計算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．