Question

已知拋物線C:y²=4x.

(1)若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線l分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F連線中點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若M(m,0)是x軸上的一定點(diǎn)，Q是(1)所求軌跡上任一點(diǎn)，試問(wèn)|MQ|有無(wú)最小值？若有，求出其值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.

Answer 1

解析:

  由拋物線y²=4x,得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l: x=－1.

(1)設(shè)P(x,y)，則B(2x－1,2y),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|=e,又設(shè)點(diǎn)B到l的距離為d,則|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)²+(2y)²=2x(2x－2),化簡(jiǎn)得P點(diǎn)軌跡方程為y²=x－1(x＞1).

(2)設(shè)Q(x,y),則

|MQ|=

(ⅰ)當(dāng)m－≤1,即m≤時(shí)，函數(shù)t=[x－(m－)²]+m－在(1，+∞)上遞增，故t無(wú)最小值，亦即|MQ|無(wú)最小值.

(ⅱ)當(dāng)m－＞1,即m＞時(shí)，函數(shù)t=[x²－(m－)²]+m－在x=m－處有最小值m－,∴|MQ|_min=.