Question

20．在△ABC中，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow$，點(diǎn)D在線段AB上，且$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$=m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$，則$\frac{1}{λ}$-$\frac{m}{n}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)向量減法的幾何意義及向量的數(shù)乘運(yùn)算便可由$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}$得到$\overrightarrow{CD}=（1-λ）\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow$，而條件有$\overrightarrow{CD}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow$并且由題意知向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$不共線，這樣由平面向量基本定理即可得到$\left\{\begin{array}{l}{m=1-λ}\\{n=λ}\end{array}\right.$，帶入$\frac{1}{λ}-\frac{m}{n}$即可得出該式的值．

解答 解：由$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}$得，$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}=λ（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$；
∴$\overrightarrow{CD}=（1-λ）\overrightarrow{CA}+λ\overrightarrow{CB}$；
即$\overrightarrow{CD}=（1-λ）\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow$，且$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$不共線；
又$\overrightarrow{CD}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow$；
∴由平面向量基本定理得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1-λ}\\{n=λ}\end{array}\right.$；
∴$\frac{1}{λ}-\frac{m}{n}=\frac{1}{λ}-\frac{1-λ}{λ}=1$．
故答案為：1．

點(diǎn)評 考查向量減法的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，平面向量基本定理，清楚平面向量基本定理具備的條件．