Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；
（2）若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)的取值范圍；

Answer 1

(1) ；（2）.

試題分析：(1)通過對函數(shù)求導(dǎo)，判函數(shù)的單調(diào)性，可求解函數(shù)的最大值，需注意解題時要先寫出函數(shù)的定義域，切記“定義域優(yōu)先”原則;(2) 將的零點問題轉(zhuǎn)化為與圖象交點個數(shù)問題，注意函數(shù)的圖象恒過定點，由圖象知當(dāng)直線的斜率為時，直線與圖象沒有交點，當(dāng)時，求出函數(shù)的最大值，讓最大值小于零即可說明函數(shù)沒有零點.
試題解析：（1）當(dāng)時，      2分
定義域為，令，      
∵當(dāng)，當(dāng)，
∴內(nèi)是增函數(shù)，上是減函數(shù)
∴當(dāng)時，取最大值       5分
（2）①當(dāng)，函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有公共點，
∴函數(shù)有零點，不合要求；                            7分
②當(dāng)時，      8分
令，∵，
∴內(nèi)是增函數(shù)，上是減函數(shù)，  10分
∴的最大值是，
∵函數(shù)沒有零點，∴，，     11分
因此，若函數(shù)沒有零點，則實數(shù)的取值范圍   12分