Question

8．已知拋物線C：y²=4x與點M（-1，2），過C的焦點，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，則k=1．

Answer 1

分析 設直線AB斜率為k，得出AB的方程，聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關系得出A，B兩點的坐標的關系，令k_MA•k_MB=-1列方程解出k．

解答 解：拋物線的焦點為F（1，0），∴直線AB的方程為y=kx-k．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=kx-k}\end{array}\right.$，消元得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$．x₁x₂=1．
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．
∵$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，∴MA⊥MB，∴k_MA•k_MB=-1．
即$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}+1}•\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}+1}$=-1，∴y₁y₂-2（y₁+y₂）+4+x₁x₂+x₁+x₂+1=0，
∴-4-$\frac{8}{k}$+4+1+2+$\frac{4}{{k}^{2}}$+1=0，解得k=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．