Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對稱中心為M（x₀，f（x₀）），記函數f（x）的導函數為f′（x），f′（x）的導函數為f″（x），則有f″（x₀）=0．若函數f（x）=x³-3x²，則
①f（x）的對稱中心是

 

②：f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)=

 

．

Answer 1

分析：由題意對已知函數求兩次導數可得圖象關于點（1，-2）對稱，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2011對-4和一個f（1）=-2，可得答案．

解答：解：①由題意f（x）=x³-3x²，
則f′（x）=3x²-6x，
f″（x）=6x-6，
由f″（x₀）=0得6x₀-6=1
解得x₀=1，而f（1）=-2，
故函數f（x）=x³-3x²關于點（1，-2）對稱，
②∵函數f（x）=x³-3x²關于點（1，-2）對稱，
∴f（x）+f（2-x）=-4，
故f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)=-4×2011+（-2）=-8046．
故答案為：①（1，-2），②-8046

點評：本題主要考查導數的基本運算，利用條件求出函數的對稱中心是解決本題的關鍵．