Question

16．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$（sinA+sinB）（b-a）=sinC（\sqrt{3}b-c）$．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ） 若a=2，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求b，c．

Answer 1

分析 （I）由$（sinA+sinB）（b-a）=sinC（\sqrt{3}b-c）$．利用正弦定理可得：（a+b）（b-a）=c（$\sqrt{3}$b-c），化簡再利用余弦定理即可得出．
（II）$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$，化為bc=4$\sqrt{3}$．利用余弦定理可得${a}^{2}=^{2}+{c}^{2}-\sqrt{3}bc$=4，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（I）在△ABC中，∵$（sinA+sinB）（b-a）=sinC（\sqrt{3}b-c）$，
由正弦定理可得：（a+b）（b-a）=c（$\sqrt{3}$b-c），
化為b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），∴解得A=$\frac{π}{6}$．
（II）$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$，化為bc=4$\sqrt{3}$．
${a}^{2}=^{2}+{c}^{2}-\sqrt{3}bc$=4，
聯(lián)立解出：$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理的應(yīng)用、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．