Question

過雙曲線的右焦點(diǎn)F作實(shí)軸所在直線的垂線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，則此雙曲線的離心率e的取值范圍為（　　）

Answer 1

分析：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，作出圖形如圖，由左頂點(diǎn)M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，得|MF|＜|AF|，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的式子，再結(jié)合平方關(guān)系和離心率的公式，化簡(jiǎn)整理得e²-e-2＞0，解之即可得到此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答：解：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞b＞0
則直線AB方程為：x=c，其中c=

a2+b2

因此，設(shè)A（c，y₀），B（c，-y₀），
∴

c2

a2

-

y02

b2

=1，解之得y₀=

b2

a

，得|AF|=

b2

a

，
∵雙曲線的左焦點(diǎn)M（-a，0）在以AB為直徑的圓內(nèi)部
∴|MF|＜|AF|，即a+c＜

b2

a

，
將b²=c²-a²，并化簡(jiǎn)整理，得2a²+ac-c²＜0
兩邊都除以a²，整理得e²-e-2＞0，解之得e＞2（舍負(fù)）
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出以雙曲線通徑為直徑的圓，當(dāng)左焦點(diǎn)在此圓內(nèi)時(shí)求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．