Question

19．已知函數(shù)f（x）=|2x+4|-|x-a|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）≥10；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）≥a²-3恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，由f（x）≥10得|2x+4|-|x-1|≥10．然后對(duì)x分類(lèi)求解，最后取并集得答案；
（2）寫(xiě)出a＞0時(shí)函數(shù)f（x）的分段解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式可得，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取得最小值為f（-2）=2+a，由f（-2）=2+a≥a²-3求得a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）≥10，可以變?yōu)閨2x+4|-|x-1|≥10；
當(dāng)x＜-2時(shí)，-（2x+4）+（x-1）≥10，即x≤-15；
當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，$2x+4+x-1≥10，3x≥7，x≥\frac{7}{3}$，無(wú)解；
當(dāng)x＞1時(shí)，$2x+4-x+1≥10，x≥\frac{5}{3}$，
∴不等式的解集為{x|x≥$\frac{5}{3}$或x≤-15}；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-x-4-a，x＜-2}\\{3x+4-a，-2≤x≤a}\\{x+4+a，x＞a}\end{array}}\right.$，
根據(jù)函數(shù)的解析式可得，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取得最小值為f（-2）=2+a，
可知f（-2）=2+a≥a²-3，
解得$0＜a＜\frac{{-1+\sqrt{21}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，訓(xùn)練了恒成立問(wèn)題的求解方法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．