已知函數(shù)f（x）=1+a-4asinx-cos2x（a為常數(shù)，x∈[
π
6
，π]），求f（x）的最小值g（a）．
考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
解答： 解：f（x）=1+a-4asinx-cos2x=f（x）=sin2x-4asinx+a，
令t=sinx，∵x∈[
π
6
，π]），∴t∈[0，1]，
則函數(shù)等價(jià)為y=t2-4at+a，對(duì)稱軸為直線t=2a，
（1）若2a≤0即a≤0時(shí)，y=t2-4at+a在[0，1]內(nèi)遞增，
當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)取得最小值，則此時(shí)最小值為g（a）=a．
（2）若0＜2a＜1，即0＜a＜
1
2
時(shí)．
當(dāng)t=2a，函數(shù)取得最小值g（a）=4a2-8a2+a=a-4a2，
（3）若2a≥1，即a≥
1
2
時(shí)，y=t2-4at+a在[0，1]內(nèi)遞減，
當(dāng)t=1，函數(shù)取得最小值g（a）=-3a+1，
 綜上，g（a）=
a，a≤0
a-4a2，0＜a＜
1
2
-3a+1，a≥
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在“十一”期間，某電器專賣店設(shè)計(jì)了一項(xiàng)家用小型空調(diào)有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，每購(gòu)買一臺(tái)空調(diào)，即可通過(guò)電腦產(chǎn)生一組3個(gè)數(shù)的隨機(jī)數(shù)組，并根據(jù)下表兌獎(jiǎng)：
獎(jiǎng)次一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)
隨機(jī)數(shù)組特征3個(gè)8或3個(gè)1只有2個(gè)8或只有2個(gè)1只有一個(gè)8或只有1個(gè)1
獎(jiǎng)金（單位：元）4m2mm
商家為了解計(jì)劃的可行性，以便估計(jì)獎(jiǎng)金數(shù)，進(jìn)行了隨機(jī)模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)，每組三個(gè)數(shù)，試驗(yàn)結(jié)果如下：247，235，145，124，754，353，296，658，379，011，521，356，208，954，245，364，135，888，357，265．
（Ⅰ）在以上20組數(shù)中，隨機(jī)抽取3組數(shù)，求至少有一組獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）根據(jù)上述模擬試驗(yàn)的結(jié)果，將頻率視為概率：
①若活動(dòng)期間，某人購(gòu)買3臺(tái)空調(diào)，求恰好有一臺(tái)中獎(jiǎng)的概率；
②若本次活動(dòng)計(jì)劃平均每臺(tái)空調(diào)的獎(jiǎng)金不超過(guò)300元，求m的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)F（x）=lnx-ax-
a-1
x
+1．
（1）若曲線y=F（x）在點(diǎn)（2，F(xiàn)（2））處的切線垂直于y軸，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若0≤a≤
1
2
，求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若曲線y=F（x）（x∈[1，2]）上任意兩點(diǎn)（x1，F(xiàn)（x1）），（x2，F(xiàn)（x2））的連線的斜率恒大于-a-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
2x-4
+
5-x
的最大值為M．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)M的值；
（Ⅱ）求關(guān)于x的不等式|x-1|+|x+2|≤M的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)在平面上取定一個(gè)極坐標(biāo)系，以極軸作為直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸，以θ=
π
2
的射線作為y軸的正半軸，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)度單位不變，建立直角坐標(biāo)系，已知曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2，直線l的參數(shù)方程
x=1-t
y=2t
（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫(xiě)出直線l的普通方程與曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)平面上伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為
X=2x
Y=y
，求C在此變換下得到曲線C'的方程，并求曲線C′內(nèi)接矩形的最大面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知矩陣M=
12
21

（1）求M的逆矩陣M-1；
（2）求直線l：x=1經(jīng)M對(duì)應(yīng)的變換TM變換后的直線l′的方程；
（3）判斷
α
=
-1
1
是否為M的特征向量．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，n∈N*
（Ⅰ）證明列{an+1}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，n∈N*．證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
（Ⅲ）證明：
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n
2
，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知y=f（x）在R上的圖象是一條連貫的曲線，且對(duì)于?∈R，f′（x）均存在，當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+
f(x)
x
＞0，則關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）+
1
x
的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）=4x2-mx+5在（-∞，2）上為增函數(shù)，在[2，60]上為減函數(shù)，則f（1）=
 
．

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