Question

1．設(shè)正三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，BC=1，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，則球O的半徑為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)EF與DE的垂直關(guān)系，結(jié)合正棱錐的性質(zhì)，判斷三條側(cè)棱互相垂直，再求得側(cè)棱長(zhǎng)，根據(jù)體積公式計(jì)算即可．

解答 解：∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，
又∵EF⊥DE，
∴AC⊥DE，
取BD的中點(diǎn)O，連接AO、CO，∵三棱錐A-BCD為正三棱錐，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，
又DE∩BD=D，∴AC⊥平面ABD；
∴AC⊥AB，
設(shè)AC=AB=AD=x，則x²+x²=1⇒x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
所以三棱錐對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體的對(duì)角線為$\sqrt{3}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以它的外接球半徑為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正三棱錐的外接球半徑求法，關(guān)鍵是求出三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)度，得到對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體對(duì)角線，即外接球的直徑．