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8.已知函數(shù)f(x)=1g(x+x2+1),若對(duì)于任意的x∈(1,2]時(shí),f(x+1x1)+f[mx12x6]>0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( �。�
A.[4,+∞)B.(12,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,0]

分析 根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式可判斷函數(shù)為奇函數(shù),且單調(diào)遞增.不等式可整理為(x+1)(x-1)(x-6)<-m恒成立,只需構(gòu)造函數(shù)h(x)=(x+1)(x-1)(x-6),求出區(qū)間內(nèi)的最大值即可.因?yàn)閤∈(1,2],故能取等號(hào).

解答 解:∵f(x)=1g(x+x2+1),
∴f(-x)=1g(-x+x2+1
=-f(x),
∴函數(shù)為奇函數(shù),由表達(dá)式顯然知函數(shù)為增函數(shù),
∵f(x+1x1)+f[mx12x6]>0恒成立,
x+1x1>-mx12x6,
∴(x+1)(x-1)(x-6)<-m恒成立,
令h(x)=(x+1)(x-1)(x-6),可知函數(shù)h(x)在x∈(1,2]時(shí),單調(diào)遞減,
∴h(x)的最大值大于h(1)=0,
∴0≤-m,
∴m≤0,
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性和應(yīng)用,利用構(gòu)造函數(shù)的方法,通過求函數(shù)的最值解決恒成立問題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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