Question

定義在上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱(chēng)是上的有界函數(shù)，其中稱(chēng)為函數(shù)的上界.
已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1) 在的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823132613711381.gif" style="vertical-align:middle;" />,函數(shù)在上不是有界函數(shù)；
（2）實(shí)數(shù)的取值范圍為

（1）當(dāng)時(shí)， 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823132613539270.gif" style="vertical-align:middle;" />在上遞減，所以，即在的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823132613711381.gif" style="vertical-align:middle;" />
故不存在常數(shù)，使成立
所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)。  
（2）由題意知，在上恒成立
，         
∴  在上恒成立
∴   
設(shè)，，，由得 t≥1，
設(shè)，

所以在上遞減，在上遞增，
在上的最大值為， 在上的最小值為 
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。