Question

【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 向量 =（Sn ， an+1）， =（an+1，4）（n∈N*），且 ∥
（1）求{an}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)f（n）= bn=f（2n+4），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（Sn，an+1）， =（an+1，4）（n∈N*），且 ∥ ，

∴Sn= + an+ ，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1= + an﹣1+ ，

兩式相減得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，an﹣an﹣1=2，即數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，

又∵a1=S1= + a1+ ，解得：a1=1，

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；

（2）解：依題意，b1=f（6）=f（3）=a2=5，

b2=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a1=1，

當(dāng)n≥3時(shí)，bn=f（2n+4）=…=f（2n﹣2+1）=2（2n﹣2+1）﹣1=2n﹣1+1，

故n≥3時(shí)，Tn=5+1+（22+1）+…+f（2n﹣1+1）

=6+ +（n﹣2）

=2n+n，

綜上可知Tn=

【解析】（1）通過 ∥ 可知Sn= + an+ ，進(jìn)而與Sn﹣1= + an﹣1+ （n≥2）作差、整理可知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；（2）通過（1）可知b1=a2=5、b2=a1=1，當(dāng)n≥3時(shí)bn=2n﹣1+1，整理即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．