Question

【題目】如圖，邊長為3的正方形所在平面與等腰直角三角形所在平面互相垂直， ，且， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析 （Ⅱ）所求二面角的余弦值為

【解析】試題分析：（Ⅰ）考查的是直線與平面平行的判定定理.添加輔助線證明過程中可知平面， 平面，所以只需重點是證明 （Ⅱ）考查的是利用平面法向量求二面角的方法.觀察圖象結合已知可知剛好可建立一個坐標系，從而可得 ， ， ， ，進而可得的法向量 和的法向量 ，最后利用公式求出二面角的余弦值.

試題解析：

（Ⅰ）過作交于，連接因為， ，所以 又，所以故，

所以四邊形為平行四邊形，故，

而平面， 平面，所以平面；

（Ⅱ）以為坐標原點， 所在方向為軸正方向，建立平面直角坐標系，

則， ， ，

平面的法向量為，

設平面的法向量為，則，即，

不妨設，則,

所求二面角的余弦值為.

【點晴】

在利用線面平行的的判定定理時不僅要關注兩直線直線平行而且另外兩個條件（一直線在平面內，一直線在平面外）也不容忽視，大多數(shù)情況下這兩個條件在作圖（添加輔助線）時就可以清楚表達出，一般不需要單獨證明，但也不能想當然，要仔細觀察，再得出結論.