Question

為了監(jiān)測某海域的船舶航行情況，在該海域設立了如圖所示東西走向，相距20海里的A，B兩個觀測站，觀測范圍是到A，B兩觀測站距離之和不超過40海里的區(qū)域．
（Ⅰ）以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，求觀測區(qū)域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）某日上午7時，觀測站B發(fā)現在其正東10海里的C處，有一艘輪船正以每小時8海里的速度向北偏西45°方向航行，問該輪船大約在什么時間離開觀測區(qū)域？（參考數據：

2

≈1.4，

3

≈1.7．）

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：Ⅰ）以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，題意可知：考察區(qū)域邊界曲線是以A，B為焦點的橢圓，設出橢圓方程，利用相距20海里的A，B兩個觀測站，觀測范圍是到A，B兩觀測站距離之和不超過40海里的區(qū)域，即可得到觀測區(qū)域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）設輪船在觀測區(qū)域內航行的時間為t小時，航線與區(qū)域邊界的交點為C、D，可得直線CD方程，與橢圓方程聯立，求出|CD|，即可求出結論．

解答： 解：以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系．…（1分）
（Ⅰ）依題意可知：考察區(qū)域邊界曲線是以A，B為焦點的橢圓，…（2分）
設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
則

2a=40 2c=20 a2=b2+c2

，…（4分）
解得a=20，b=10

3

，…（5分）
∴觀測區(qū)域邊界曲線的方程為：

x2

400

+

y2

300

=1．…（6分）
（Ⅱ）設輪船在觀測區(qū)域內航行的時間為t小時，航線與區(qū)域邊界的交點為C、D，
∵C（20，0），k_CD=tan135°=-1，
∴直線CD方程：y=-x+20．…（7分）
聯立方程

y=-x+20 x2 400 + y2 300 =1

，整理得：7x²-160x+400=0，…（8分）
解得x1=20，x2=

20

7

…（9分）
∴|CD|=

2

•|20-

20

7

|=

120

7

2

≈24…（11分）
∴t=

24

8

=3（小時）．
∴輪船大約在當日上午10時離開觀測區(qū)域．…（12分）

點評：本題主要考查直線、圓、橢圓等基礎知識及直線與橢圓的位置關系；考查運算求解、抽象概括能力、應用意識，化歸與轉化思想．