Question

已知函數(shù)f（x）=

1-2x

2+21+x

對于?θ∈R，?x∈R，使得cosθ-m²＜f（x）＜sin²θ+m+1成立，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：需先求函數(shù)f（x）的值域，再分兩步對所要求的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．要使cosθ-m²＜f（x）＜sin²θ+m+1對于?θ∈R，?x∈R時成立，只要（cosθ-m²）_最大值＜f（x）_最大值，而且f（x）_最小值＜（sin²θ+m+1）_{最小值
以及cosθ-m²＜sin²θ+m+1對任意θ恒成立}

解答： 解：∵f（x）=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

1+2x

，由2^x+1＞1，得0＜

1

1+2x

＜1，∴-

1

2

＜f（x）＜

1

2

，
即f（x）的值域是（-

1

2

，

1

2

）．
對于?θ∈R，?x∈R，使得cosθ-m²＜f（x），轉(zhuǎn)化為只要（cosθ-m²）_最大值＜f（x）_最大值，
∴1-m²＜

1

2

，∴m²＞

1

2

．
對于?θ∈R，?x∈R，f（x）＜sin²θ+m+1，轉(zhuǎn)化為只要f（x）_最小值＜（sin²θ+m+1）_最小值，
∴m＞-

3

2

，解不等式組

m2＞ 1 2 m＞- 3 2

，得-

3

2

＜m＜-

2

2

 或m＞

2

2

，
由cosθ-m²＜sin²θ+m+1對于?θ∈R恒成立，得m＞0或＜-1
故m的取值范圍是（-

3

2

，-1）∪（

2

2

，+∞）

點評：本題考查了恒成立問題，必須進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，需要正確區(qū)分誰是變量誰是常量，屬于高檔題目．