Question

14．在△ABC中，已知BC=4，AC=3，cos（A-B）=$\frac{3}{4}$，則△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意得到∠BAC大于∠B，如圖所示，作AD，使∠BAD=∠B，得到∠DAC=∠BAC-∠B，設(shè)AD=BD=x，則DC=4-x，在△ADC中，由余弦定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解，得到x的值，確定出AD與DC的長，在三角形ADC中，利用余弦定理即可求出cosC的值，可得sinC的值，從而求得△ABC面積是$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC的值．

解答 解：△ABC中，BC=4，AC=3，cos（A-B）=$\frac{3}{4}$，
∴A＞B，（A-B）為銳角，
如圖，作AD，使∠BAD=∠B，則∠DAC=∠BAC-∠B，
即cos∠DAC=cos（∠BAC-∠B）=$\frac{3}{4}$．
設(shè)AD=BD=x，則DC=4-x，
在△ADC中，由余弦定理得：CD²=AD²+AC²-2AD•AC•cos∠DAC，
即（4-x）²=x²+9-2x×3×$\frac{3}{4}$，
解得：x=2，
∴AD=2，DC=2，
在△ADC中，由余弦定理得cosC=$\frac{A{C}^{2}+D{C}^{2}-A{D}^{2}}{2AC•CD}$=$\frac{{3}^{2}+{2}^{2}-{2}^{2}}{2×3×2}$=$\frac{3}{4}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
故△ABC面積是：$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\frac{1}{2}$×3×4×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
故答案是：$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

點評 此題考查了余弦定理，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．