Question

3．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）焦點(diǎn)與實(shí)軸垂直的直線與雙曲線的兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，若M，N為線段AB的兩個三等分點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，解方程組求出A，B，M，N的坐標(biāo)，結(jié)合三等分的關(guān)系，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：雙曲線的漸近線為y=±$\frac{a}$x，
當(dāng)x=c時，y=±$\frac{a}$•c=$\frac{bc}{a}$，即A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），|AB|=$\frac{2bc}{a}$，
當(dāng)x=c，則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
則有y=±$\frac{^{2}}{a}$，即M（c，$\frac{^{2}}{a}$），N（c，-$\frac{^{2}}{a}$），|MN|=$\frac{2^{2}}{a}$，
∵M(jìn)，N為線段AB的兩個三等分點(diǎn)，
∴|MN|=$\frac{1}{3}$|AB|，
即$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{2bc}{a}$，即c=3b，
∴c²=9b²=9（c²-a²），
即9a²=8c²，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{9}{8}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{9}{8}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
故選：D

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線方程和離心率的計算，根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出交點(diǎn)坐標(biāo)，建立a，c的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．