Question

【題目】已知經過點A（﹣4，0）的動直線l與拋物線G：x2=2py（p＞0）相交于B、C，當直線l的斜率是 時， ． （Ⅰ）求拋物線G的方程；
（Ⅱ）設線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）直線l的斜率是 時，直線BC的方程為：x=2y﹣4，設B（x1 ， y1），C（x2 ， y2）， ，整理得：2y2﹣（8+p）y+8=0，
由韋達定理可知：y1+y2= ，y1y2=4，
由 ．則y1=4y2 ，
由p＞0，解得：y1=1，y2=4，
∴p=2，
∴拋物線G：x2=4y；
（Ⅱ）設l：y=k（x+4），BC中點坐標為（x0 ， y0）
由 ，整理得：x2﹣4kx﹣16k=0，
∴由韋達定理可知：x1+x2=2k，則x0= =2k．則y0=k（x0+4）=2k2+4k，
∴BC的中垂線方程為y﹣（2k2+4k）=﹣ （x﹣2k），
∴BC的中垂線在y軸上的截距為：b=2k2+4k+2=2（k+1）2 ，
對于方程由△=16k2+64k＞0，解得：k＞0或k＜﹣4．
∴b的取值范圍（2，+∞）
【解析】（1）設出B，C的坐標，利用點斜式求得直線l的方程，與拋物線方程聯立消去x，利用韋達定理表示出x1+x2和x1x2 ， 由 ．根據求得y2=4y1 ， 最后聯立方程求得y1 ， y2和p，則拋物線的方程可得．（2）設直線l的方程，AB中點坐標，把直線與拋物線方程聯立，利用判別式求得k的范圍，利用韋達定理表示出x1+x2 ， 進而求得x0 ， 利用直線方程求得y0 ， 進而可表示出AB的中垂線的方程，求得其在y軸上的截距，根據k的范圍確定b的范圍．