【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)面為菱形,

1)證明:;

2)若,,求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解;(2).

【解析】

(1)連接,交于點(diǎn),連接,證明平分得到答案.

(2)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>軸正方向,為單位長(zhǎng),建立空間直角坐標(biāo),計(jì)算相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算法向量,利用二面角公式計(jì)算得到答案.

證明:(1)連接,交于點(diǎn),連接,

因?yàn)閭?cè)面為菱形,

所以,

的中點(diǎn),

,,

所以平面.

由于平面,

.

,

.

(2)因?yàn)?/span>,且的中點(diǎn),

所以,

又因?yàn)?/span>

所以,

從而兩兩相互垂直,為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>軸正方向,為單位長(zhǎng),建立空間直角坐標(biāo)

因?yàn)?/span>,

所以為等邊三角形,

設(shè),

,

設(shè)是平面的法向量,則

,

所以.

設(shè)是平面的法向量,

,

同理可取,

,

所以二面角的余弦值為-.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】△ABC的角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,(2bc,a),(cosA,-cosC),且

(Ⅰ)求角A的大;

(Ⅱ)當(dāng)y2sin2Bsin(2B)取最大值時(shí),求角的大小.

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【題目】設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于、兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn).

1)當(dāng)時(shí),求的取值范圍;

2)問(wèn)是否存在直線(xiàn)使得成立,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,已知,頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影為的外接圓圓心.

1)證明:平面平面ABC;

2)若點(diǎn)M在棱PA上,,且二面角P-BC-M的余弦值為,試求的值.

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【題目】如圖,A、B為橢圓C短軸的上、下頂點(diǎn),P為直線(xiàn)ly2上一動(dòng)點(diǎn),連接PA并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)M,連接PB交橢圓于點(diǎn)N,已知直線(xiàn)MA,MB的斜率之積恒為.

1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)若直線(xiàn)MNx軸平行,求直線(xiàn)MN的方程;

3)求四邊形AMBN面積的最大值,并求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某印刷廠(chǎng)為了研究單冊(cè)書(shū)籍的成本(單位:元)與印刷冊(cè)數(shù)(單位:千冊(cè))之間的關(guān)系,在印制某種書(shū)籍時(shí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),相關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表:

印刷冊(cè)數(shù)(千冊(cè))

單冊(cè)成本(元)

根據(jù)以上數(shù)據(jù),技術(shù)人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個(gè)回歸方程,方程甲:,方程乙:.

(1)為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù).

①完成下表(計(jì)算結(jié)果精確到);

印刷冊(cè)數(shù)(千冊(cè))

單冊(cè)成本(元)

模型甲

估計(jì)值

殘差

模型乙

估計(jì)值

殘差

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和,并通過(guò)比較,判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.

(2)該書(shū)上市之后,受到廣大讀者熱烈歡迎,不久便全部售罄,于是印刷廠(chǎng)決定進(jìn)行二次印刷,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,新需求量為千冊(cè),若印刷廠(chǎng)以每?jī)?cè)元的價(jià)格將書(shū)籍出售給訂貨商,求印刷廠(chǎng)二次印刷千冊(cè)獲得的利潤(rùn)?(按(1)中擬合效果較好的模型計(jì)算印刷單冊(cè)書(shū)的成本).

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【題目】已知函數(shù)的最大值為.

1)求的值;

2)試推斷方程是否有實(shí)數(shù)解?若有實(shí)數(shù)解,請(qǐng)求出它的解集.

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【題目】中國(guó)改革開(kāi)放以來(lái)經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅猛,某一線(xiàn)城市的城鎮(zhèn)居民20122018年人均可支配月收入散點(diǎn)圖如下(年份均用末位數(shù)字減1表示).

1)由散點(diǎn)圖可知,人均可支配月收入y(萬(wàn)元)與年份x之間具有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,試求y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.001),依此相關(guān)關(guān)系預(yù)測(cè)2019年該城市人均可支配月收入;

2)在20142018年的五個(gè)年份中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)據(jù)作樣本分析,求所取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中,人均可支配月收入恰好有一個(gè)超過(guò)1萬(wàn)元的概率.

注:,,

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【題目】如圖,四棱錐,,,在底面上的投影上.

1)證明

2為棱上一點(diǎn),若與面所成的角和與面所成的角相等,求的值.

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