【題目】拋物線y2=2px的焦點與雙曲線 的右焦點重合.
(1)求拋物線的方程;
(2)求拋物線的準線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積.
【答案】
(1)解:由雙曲線 得,a2=3,b2=1,
所以c2=a2+b2=3+1=4,所以c=2.
則 .
所以拋物線的方程為y2=8x;
(2)解:由題意知, ,
所以雙曲線的漸近線方程為 ,
拋物線的準線方程為x=﹣2.
代入雙曲線的準線方程得 .
設拋物線的準線與雙曲線的準線的交點為A,B.
則|AB|= .
所以拋物線的準線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為:
S= .
【解析】(1)由雙曲線方程求出其半焦距,根據(jù)拋物線的焦點與雙曲線右焦點重合求出P,從而求出拋物線方程;(2)分別求出拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程,聯(lián)立求出兩交點間的距離,然后直接代入三角形的面積公式求解.
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【題目】設兩向量e1、e2滿足| |=2,| |=1, 、 的夾角為60°,若向量2t +7 與向量 +t 的夾角為鈍角,求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】橢圓 =1上有一點M(﹣4, )在拋物線y2=2px(p>0)的準線l上,拋物線的焦點也是橢圓焦點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若點N在拋物線上,過N作準線l的垂線,垂足為Q,求|MN|+|NQ|的最小值.
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【題目】如圖,已知拋物線y2=4x的焦點為F.過點P(2,0)的直線交拋物線于A(x1 , y1),B(x2 , y2)兩點,直線AF,BF分別與拋物線交于點M,N.
(1)求y1y2的值;
(2)記直線MN的斜率為k1 , 直線AB的斜率為k2 . 證明: 為定值.
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【題目】如圖,多面體中, 兩兩垂直,且, , ,
.
(Ⅰ) 若點在線段上,且,求證: 平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成的角的正弦值;
(Ⅲ)求銳二面角的余弦值.
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【題目】設函數(shù)f(x)=emx+x2﹣mx.
(1)證明:f(x)在(﹣∞,0)單調遞減,在(0,+∞)單調遞增;
(2)若對于任意x1 , x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)是的一個極值點.
(1)若是的唯一極值點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)討論的單調性;
(3)若存在正數(shù),使得,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知a>0,集合A={x|ax2﹣2x+2a﹣1=0},B={y|y=log2(x+ ﹣4)},p:A=,q:B=R.
(1)若p∧q為真,求a的最大值;
(2)若p∧q為為假,p∨q為真,求a的取值范圍.
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