分析:(1)由條件求出點M的坐標,利用點M在第二或第三象限的充要條件為橫坐標小于0,縱坐標不等于0,得到結果.
(2)由條件求出
的坐標,證明
等于一個實數(shù)與
的乘積,即
∥
,即證明了A、B、M三點共線.
(3)先求出
的坐標,用點到直線的距離公式求出點M到直線AB的距離,由三角形面積等于12解出a的值.
解答:解:(1)
=t
1+t
2=t
1(0,2)+t
2(4,4)=(4t
2,2t
1+4t
2).
當點M在第二或第三象限時,等價于
,故所求的充要條件為t
2<0且t
1+2t
2≠0.
(2)證明:當t
1=1時,由(1)知
=(4t
2,4t
2+2).
∵
=
-
=(4,4),
=
-
=(4t
2,4t
2)=t
2(4,4)=t
2,
∴不論t
2為何實數(shù),A、B、M三點共線.
(3)當t
1=a
2時,
=(4t
2,4t
2+2a
2). 又∵
=(4,4),
⊥
,
∴4t
2×4+(4t
2+2a
2)×4=0,∴t
2=-
a
2,∴
=(-a
2,a
2).又∵|
|=4
,
點M到直線AB:x-y+2=0的距離d=
=
|a
2-1|.
∵S
△ABM=12,∴
|
|•d=
×4
×
|a
2-1|=12,解得a=±2,
故所求a的值為±2.
點評:本題考查兩個向量坐標形式的運算法則,證明三點共線的方法,向量的模及點到直線的距離公式的應用,體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想,準確進行坐標運算,是解題的難點和關鍵.