Question

7．若x是三角形內(nèi)的一個(gè)最小角，則函數(shù)y=$\frac{sinxcosx+1}{sinx+cosx}$的取值范圍．

Answer 1

分析 本題屬于三角函數(shù)求值域類(lèi)型．利用換元法設(shè)t=sinx+cosx，且求出t的范圍，再利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得出y=$\frac{1}{2}（t+\frac{1}{t}）$ 在1＜t≤$\sqrt{2}$上為增函數(shù)．

解答 解：由題意知，x是三角形內(nèi)的一個(gè)最小內(nèi)角，∴0＜x≤60^°
令 t=sinx+cosx，等式兩邊平方得：sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$
∵t=sinx+cosx （0＜x≤60^°）
=$\sqrt{2}$sin（x+45^°）
∴1＜t≤$\sqrt{2}$
∴y=$\frac{\frac{1}{2}（{t}^{2}-1）+1}{t}$
=$\frac{{t}^{2}+1}{2t}$
=$\frac{1}{2}（t+\frac{1}{t}）$ 
∵$t+\frac{1}{t}$在 1＜t≤$\sqrt{2}$上是增函數(shù)
∴y=$\frac{1}{2}（t+\frac{1}{t}）$ 的取值范圍為 （1，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]
故答案為：（1，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]

點(diǎn)評(píng) 綜合利用換元、三角函數(shù)化簡(jiǎn)求函數(shù)最值屬于�？碱}型，考生應(yīng)該熟練掌握．