【題目】已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn , 已知a1+a4=﹣ ,且對于任意的n∈N*有Sn , Sn+2 , Sn+1成等差數(shù)列;
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)已知bn=n(n∈N+),記 ,若(n﹣1)2≤m(Tn﹣n﹣1)對于n≥2恒成立,求實(shí)數(shù)m的范圍.

【答案】
(1)解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,

∵對于任意的n∈N+有Sn,Sn+2,Sn+1成等差,

∴2

整理得:

∵a1≠0,∴,2+2q+2q2=2+q.

∴2q2+q=0,又q≠0,∴q=

把q= 代入后可得

所以,


(2)解:∵bn=n, ,∴ ,

=

若(n﹣1)2≤m(Tn﹣n﹣1)對于n≥2恒成立,

則(n﹣1)2≤m[(n﹣1)2n+1+2﹣n﹣1]對于n≥2恒成立,

也就是(n﹣1)2≤m(n﹣1)(2n+1﹣1)對于n≥2恒成立,

∴m≥ 對于n≥2恒成立,

,

=

∴f(n)為減函數(shù),∴f(n)≤f(2)=

∴m

所以,(n﹣1)2≤m(Tn﹣n﹣1)對于n≥2恒成立的實(shí)數(shù)m的范圍是[ ).


【解析】(1)設(shè)出等比數(shù)列的公比,利用對于任意的n∈N+有Sn , Sn+2 , Sn+1成等差得2S3=S1+S2 , 代入首項(xiàng)和公比后即可求得公比,再由已知 ,代入公比后可求得首項(xiàng),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求;(2)把(1)中求得的an和已知b=n代入 整理,然后利用錯(cuò)位相減法求Tn , 把Tn代入(n﹣1)2≤m(Tn﹣n﹣1)后分離變量m,使問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題,分析函數(shù)的單調(diào)性時(shí)可用作差法.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(及其變式)的相關(guān)知識,掌握通項(xiàng)公式:,以及對數(shù)列的前n項(xiàng)和的理解,了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系

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