Question

在△ABC中，tan

C

2

=

1

2

，

AH

•

BC

=0(H為垂足)，則過點C，以A，H為兩焦點的橢圓的離心率為

1

2

．

Answer 1

分析：由題意可得tanC=

2 tan C 2

1-tan2 C 2

=

4

3

，由AH⊥BC可得，tanC=

AH

CH

=

4

3

，根據橢圓的定義可得，2a=CA+CH，2c=AH
，根據e=

c

a

可求

解答：解：由題意可得tanC=

2 tan C 2

1-tan2 C 2

=

4

3

∵

AH

•

BC

=0∴AH⊥BC
在Rt△AHC中可得，tanC=

AH

CH

=

4

3

故可設CH=3x，則可得AH=4x，AC=5x
根據橢圓的定義可得，2a=CA+CH=8x，2c=AH=4x
∴e=

c

a

=

2x

4x

=

1

2

故答案為：

1

2

．

點評：本題主要考查了橢圓定義及離心率的求解，解題的關鍵是根據二倍角的正切公式先求tanC，關鍵二是要靈活應用橢圓的定義得到，2a=CA+CH，2c=AH．