定義在R的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),x,y∈R,且f(1)=2,有下面的四個式子:
①f(1)+2f(1)+…+nf(1);②f[
n(n+1)
2
];③n(n+1);④n(n+1)f(1),則其中與f(1)+f(2)+…+f(n)相等的有( 。
分析:由已知,定義在R上的函數(shù)f(x)對任意x,y滿足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(1)=2,f(2)=2f(2),
f(n)=nf(1),f(1)+f(2)+…+f(n)=f(1)+2f(1)+…+nf(1)=f[
n(n+1)
2
]
=
n(n+1)
2
f(1)=n(n+1)即可判定真假.
解答:解:由定義知f(1)=2,f(2)=2f(2),f(n)=nf(1),
f(1)+f(2)+…+f(n)=f(1)+2f(1)+…+nf(1)=f[
n(n+1)
2
]
=
n(n+1)
2
f(1)=n(n+1);
故①②③正確,④不正確;
故選C.
點評:在新定義函數(shù)的規(guī)則下,考查等差數(shù)列求和,隱蔽性相當(dāng)強(qiáng).請讀者注意總結(jié)本題的經(jīng)驗.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)定義在R的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③當(dāng)0≤x<1時,f(x)=2x-1.則f(
1
2
)+f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R的函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時,f(x)<0,又f(1)=-
23

(1)求征,f(x)為奇函數(shù);
(2)求證:f(x)在R上是減函數(shù);
(3)求f(x)在[-3,6]上的最大值與最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

關(guān)于函數(shù)y=f(x),有下列命題:
①若a∈[-2,2],則函數(shù)f(x)=
x2+ax+1
的定域為R;
②若f(x)=log
1
2
(x2-3x+2)
,則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,
3
2
)

③(理)若f(x)=
1
x2-x-2
,則
lim
x→2
[(x-2)f(x)]=0

(文)若f(x)=
1
x2-x-2
,則值域是(-∞,0)∪(0,+∞)
④定義在R的函數(shù)f(x),且對任意的x∈R都有:f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),則4是y=f(x)的一個周期.
其中真命題的編號是
 
.(文理相同)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在R的函數(shù)f(x)滿足:①對任意的實數(shù)x、y∈R有f(x+y)=f(x)•f(y).②當(dāng)x>0時,f(x)>1,數(shù)列{an}滿足a1=f(0),且f(an+1)=
1
f(-1-an)
,(n∈N*)

(1)求f(0),并判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(3)令bn是最接近
an
的正整數(shù),即|
an
-bn|<
1
2
,bn∈N*,設(shè)Tn=
1
b1
+
1
b2
+
+ …
1
bn
(n∈N*)
求T1000

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