Question

11．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，Q是PC中點，AC，BD交于O點，求二面角Q-BD-C的大�。�

Answer 1

分析 以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角Q-BD-C的大小．

解答 解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
設PA=AB=2，
則由題意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），Q（1，1，1），D（0，2，0），
$\overrightarrow{BQ}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），
設平面BDQ的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{n}=-x+y+z=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角Q-BD-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|0|}{\sqrt{2}}$=0，
∴二面角Q-BD-C的大小為90°．

點評 本題考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．