【題目】已知函數(shù)f(x)=(ax﹣1)e2x+x+1(其中e為自然對(duì)數(shù)的e底數(shù)).
(1)若a=0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對(duì)x∈(0,+∞),f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:a=0時(shí),f(x)=﹣e2x+x+1,f′(x)=﹣2e2x+1,

由f′(x)=0,解得x=﹣ ,

當(dāng)x∈(﹣∞,﹣ )時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈(﹣ ,+∞)時(shí),f′(x)<0,

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,﹣ ),單調(diào)減區(qū)間為(﹣ ,+∞).


(2)解:f′(x)=(2ax﹣2+a)e2x+1,令g(x)=(2ax﹣2+a)e2x+1,

則g′(x)=4(ax﹣1+a)e2x,

①若a≥1,當(dāng)x∈(0,+∞),g′(x)>0,從而g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增且g(0)=a﹣1≥0,

∴x∈(0,+∞)時(shí),g(x)>0即f′(x)>0,從而f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增且f(0)=0,

∴x∈(0,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,符合題意.

②若a≤0,則x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)<0恒成立,

∴g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,則g(x)<g(0)=a﹣1,

即x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)<0,

∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,此時(shí)f(x)<f(0)=0,不符合題意.

③若0<a<1,由g′(x)=4(ax﹣1+a)e2x=0,得x= ,且x∈(0, ),g′(x)<0,

∴函數(shù)y=g(x)在(0, )單調(diào)遞減.

∴x∈(0, )時(shí),g(x)<g(0)=a﹣1<0,即x 時(shí),f′(x)<0,

∴函數(shù)y=f(x)在(0, )單調(diào)遞減,

∴x∈(0, )時(shí),f(x)<f(0)=0,不符合題意.

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).


【解析】(1)a=0時(shí),f′(x)=﹣2e2x+1,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)f′(x)=(2ax﹣2+a)e2x+1,令g(x)=(2ax﹣2+a)e2x+1,則g′(x)=4(ax﹣1+a)e2x,由此利用分類討論思想,結(jié)合導(dǎo)數(shù)應(yīng)用能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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氣溫x(℃)

18

13

10

﹣1

山高y(百米)

24

34

38

64


A.﹣10
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C.﹣6
D.﹣4

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