Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)．若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為

（3）

【解析】

試題分析：函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080912444139794839/SYS201308091245360175918507_DA.files/image007.png">，   1分

．    2分

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，．

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即．                  4分

（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080912444139794839/SYS201308091245360175918507_DA.files/image016.png">．   

（i）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減． 5分

（2）當(dāng)時(shí)，，

（ⅰ）若，

由，即，得或；   6分

由，即，得．        7分

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為． 8分

（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時(shí) 在上單調(diào)遞增．          9分

（Ⅲ））因?yàn)榇嬖谝粋�(gè)使得，

則，等價(jià)于.  10分

令，等價(jià)于“當(dāng) 時(shí)，”. 

對求導(dǎo)，得.  11分

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.   12分

所以，因此.      13分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。