Question

已知在（x²-）ⁿ的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求：
（1）n的值；
（2）展開式中x⁵的系數(shù)；
（3）含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)（x²-）ⁿ的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，而第9項(xiàng)的通項(xiàng)公式為 T₉=2^8-n••x^2n-20，故有 2n-20=0，由此解得 n=10．
（2）由（1）可得展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=（-1）^r•2^r-10••．令x的冪指數(shù)等于5，求得r的值，可得展開式中x⁵的系數(shù)．
（3）由20- 為整數(shù)，可得r=0，2，4，6，8，從而得到含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．
解答：解：（1）在（x²-）ⁿ的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，而第9項(xiàng)的通項(xiàng)公式為 T₉=•2^8-n•x^2n-16•x^-4=2^8-n••x^2n-20，
故有 2n-20=0，解得 n=10．
（2）由（1）可得展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=•2^r-10•x^20-2r•（-1）^r•=（-1）^r•2^r-10••．
令20-=5，求得r=6，故展開式中x⁵的系數(shù)為•=．
（3）由20- 為整數(shù)，可得r=0，2，4，6，8，故含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為5．
點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．