Question

設二次函數(shù)，對任意實數(shù)x，有f（x）≤6x+2恒成立；數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）試寫出一個區(qū)間（a，b），使得當a₁∈（a，b）時，數(shù)列{a_n}在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說明理由；
（3）已知，是否存在非零整數(shù)λ，使得對任意n∈N^*，都有-1+（-1）^n-12λ+nlog₃2恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲使對任意實數(shù)x，有f（x）≤6x+2恒成立及使（k-4）x²+（k-6）x-2≤0恒成立，建立不等關(guān)系可求出k的值，從而求出函數(shù)的值域；
（2）若數(shù)列{a_n}在某個區(qū)間上是遞增數(shù)列，則a_n+1-a_n＞0，則a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n＞0，又當時，所以對一切n∈N^*，均有，且a_n+1-a_n＞0；所以數(shù)列a_n在區(qū)間上是遞增數(shù)列；
（3）令，可證得數(shù)列{lgb_n+lg2}是為首項，公比為2的等比數(shù)列，即2ⁿ+nlog₃2-12ⁿ+（log₃2）n-1＞（-1）^n-12λ+nlog₃²-1nlog₃2-1，所以，2^n-1＞（-1）^n-1λ恒成立，當n為奇數(shù)時，即λ＜2^n-1恒成立，當且僅當n=1時，2^n-1有最小值為1．則λ＜1，當n為偶數(shù)時，即λ＞-2^n-1恒成立，當且僅當n=2時，有最大值為-2，則λ＞-2，從而對任意n∈N^*，有-2＜λ＜1．又λ非零整數(shù)求出λ的值．
解答：解：（1）由f（x）≤6x+2恒成立，即（k-4）x²+（k-6）x-2≤0恒成立，從而得：，
化簡得，從而得k=2，所以f（x）=-2x²+2x，其值域為．
（2）當時，數(shù)列a_n在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列，證明如下：
若數(shù)列{a_n}在某個區(qū)間上是遞增數(shù)列，則a_n+1-a_n＞0；
即a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n=-2a_n²+2a_n-a_n=-2a_n²+a_n＞0；
時，，
所以對一切n∈N^*，均有，且a_n+1-a_n＞0；所以數(shù)列a_n在區(qū)間上是遞增數(shù)列．
（3）由（2）知，，從而；
當n≥1時，，即；
令，則有b_n+1=2b_n²，且；從而有l(wèi)gb_n+1=2lgb_n+lg2，即lgb_n+1+lg2=2（lgb_n+lg2）；
所以數(shù)列{lgb_n+lg2}是為首項，公比為2的等比數(shù)列；
從而得，即，所以，
所以，所以，
所以，=．
即2ⁿ+nlog₃2-12ⁿ+（log₃2）n-1＞（-1）^n-12λ+nlog₃²-1nlog₃2-1，所以，2^n-1＞（-1）^n-1λ恒成立
當n為奇數(shù)時，即λ＜2^n-1恒成立，當且僅當n=1時，2^n-1有最小值為1．∴λ＜1
當n為偶數(shù)時，即λ＞-2^n-1恒成立，當且僅當n=2時，有最大值為-2．∴λ＞-2
所以，對任意n∈N^*，有-2＜λ＜1．又λ非零整數(shù)，∴λ=-1．
點評：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應用，以及數(shù)列與不等式的綜合應用，同時考查了計算能力、推理能力，有一定的難度，屬于難題．