Question

10．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，CD=2，A₁D⊥平面ABCD，AA₁與底面ABCD所成角為θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），∠ADC=2θ．
（1）求證：平面六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V=4sin²θ，并求V的取值范圍；
（2）若θ=45°，求異面直線A₁C與BB₁所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由∠A₁AD=θ，AD=1得出棱柱的高A₁D=tanθ，求出平行四邊形的面積，代入棱柱的體積公式化簡即可；
（2）由AA₁∥BB₁，可知∠AA₁C為所求的角，利用線面垂直和勾股定理計算AA₁，A₁C，AC，使用余弦定理求出∠AA₁C．

解答 證明：（1）∵A₁D⊥平面ABCD，
∴∠A₁AD為直線AA₁與底面ABCD所成的角，即∠A₁AD=θ，
∵AD=1，A₁D⊥AD，∴A₁D=tanθ．
∵AD=1，CD=2，∠ADC=2θ，
∴S_{四邊形ABCD}=2S_△ADC=2×$\frac{1}{2}×$1×2×sin2θ=4sinθcosθ．
∴平面六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V=S_{四邊形ABCD}•A₁D=4sinθcosθ•tanθ=4sin²θ．
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴0＜sinθ＜1，
∴0＜V＜4．
（2）∵AA₁∥BB₁，∴∠AA₁C為異面直線A₁C與BB₁所成的角．
連結(jié)AC．
∵∠A₁AD=45°，AD=1，A₁D⊥AD，∴A₁A=$\sqrt{2}$，A₁D=1．
∵AD=1，CD=2，∠ADC=2θ=90°，∴AC=$\sqrt{5}$．
∵A₁D⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴A₁D⊥CD．
∴A₁C=$\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
在△AA₁C中，由余弦定理得cos∠AA₁C=$\frac{2+5-5}{2×\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴∠AA₁C=arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
異面直線A₁C與BB₁所成角為arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查了線面角的計算，棱柱的體積公式，屬于中檔題．