Question

焦點(diǎn)在x軸的橢圓，過右頂點(diǎn)的直線與曲線相切，交于二點(diǎn)．

（1）若的離心率為，求的方程．

（2）求取得最小值時(shí)的方程．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）由離心率和題中已知條件即可列出關(guān)于a的方程，解出a值,從而可寫出的方程；（2）將方程與方程聯(lián)立，化為關(guān)于的一元二次方程，利用直線與相切，判別式等于0，求出與的關(guān)系，再將與聯(lián)立消去化為的一元二次方程，利用直線與的交點(diǎn)為E和，求出點(diǎn)坐標(biāo)，將表示為關(guān)于，利用換元法與導(dǎo)數(shù)求出取最小值時(shí)的值，進(jìn)而求出的值，從而寫出的方程.

試題解析：(1)．由的離心率得 2分

3分

(2)．與方程聯(lián)立消得

由與相切知，由知 5分

與方程聯(lián)立消得 ① 6分

設(shè)點(diǎn)

交于二點(diǎn)，、是①的二根

，故 8分

10分

令，則

令，則在上恒成立

故在上單減 12分

故即，時(shí)取得最小值，則取得最小值

此時(shí) 14分

考點(diǎn):橢圓的性質(zhì)；直線與拋物線的位置關(guān)系；直線與橢圓的位置關(guān)系；最值問題，運(yùn)算求解能力