Question

設(shè)定義域為R的函數(shù)f（x）=

|x+1|，x≤0 x2-2x+1，x＞0

（Ⅰ）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f（x）的圖象，并指出f（x）的單調(diào)區(qū)間（不需證明）；
（Ⅱ）若方程f（x）+2a=0有兩個解，求出a的取值范圍（只需簡單說明，不需嚴(yán)格證明）．
（Ⅲ）設(shè)定義為R的函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，g（x）=f（x），求g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)的圖象，從而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）在同一坐標(biāo)系中同時作出y=f（x），y=-2a圖象，由圖可知f（x）+2a=0有兩個解，須-2a=0或-2a＞1，從而可求a的取值范圍；
（Ⅲ）求出x＜0時，函數(shù)的解析式，即可求得g（x）的解析式．

解答：解 （Ⅰ）如圖．…（3分）
單增區(qū)間：[-1，0]，[1，+∞）單減區(qū)間（-∞，-1]，[0，1]…（5分）
（Ⅱ）在同一坐標(biāo)系中同時作出y=f（x），y=-2a圖象，由圖可知f（x）+2a=0有兩個解
須-2a=0或-2a＞1，即a=0或a＜-

1

2

   …（8分）
（Ⅲ）當(dāng)x＜0時，-x＞0，∴g（-x）=（-x）²-（-2x）+1=x²+2x+1，
因為g（x）為奇函數(shù)，所以g（x）=-x²-2x-1，…（10分）
且g（0）=0，所以g（x）=

x2-2x+1，x＞0 0，x=0 -x2-2x-1，x＜0

…（12分）

點評：本題考查分段函數(shù)的運用，考查函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確做好函數(shù)的圖象是關(guān)鍵．