Question

已知．

(1) 求函數(shù)在上的最小值；

(2) 對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3) 證明：對(duì)一切，都有成立．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

（3）構(gòu)造函數(shù)，則，

設(shè)，則，，利用單調(diào)性來(lái)得到證明。

【解析】

試題分析：(1) ，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增．                                               

① ，t無(wú)解；

② ，即時(shí)，；

③ ，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；

所以．

(2) ，則，

設(shè)，則，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以．

因?yàn)閷?duì)一切，恒成立，所以

（3） 問(wèn)題等價(jià)于證明，由⑴可知的

最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到

設(shè)，則，易得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，從而對(duì)一切，都有成立．

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解單調(diào)性以及極值和最值，屬于基礎(chǔ)題。