Question

【題目】已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，3），并且g（x）=xf（x）是偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）用定義證明：函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（1）∵函數(shù)g(x)=x是偶函數(shù)，則g（﹣x）=g（x）．
∴恒成立，即x﹣b=x+b恒成立，
∴b=0．
又函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（1，3），
∴f（1）=3，即1+a=3，
∴a=2．
（2）由（1）知：g（x）=xf（x）=2x2+1．
設(shè)x2＞x1＞1，
則-1=2（x2﹣x1）（x2+x1）．
∵x2＞x1＞1，∴（x2﹣x1）（x2+x1）＞0
∴g（x2）＞g（x1），
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
【解析】（1）根據(jù)g（﹣x）=g（x）恒成立得出b的值，將（1，3）代入f（x）解出a；
（2）設(shè)x2＞x1＞1，化簡g（x2）﹣g（x1）并判斷符號得出g（x2）與g（x1）的大小關(guān)系．
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．