Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2ωx-

π

6

)+sin2ωx(ω＞0)的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f(x)=cos(2ωx-

π

6

)+sin2ωx(ω＞0)化簡為f（x）=

3

sin(2ωx+

π

6

)，即可根據(jù)最小正周期為π求出ω；
（Ⅱ）先利用不等式的性質(zhì)確定

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos(2ωx-

π

6

)+sin2ωx(ω＞0)
=

3

2

cos2ωx+

1

2

sin2ωx+sin2ωx
=

3

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx
=

3

sin(2ωx+

π

6

)．
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
∴

2π

2ω

=π，
∴ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

3

sin(2x+

π

6

)．
∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴-

3

2

≤

3

sin(2x+

π

6

)≤

3

，
函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的值域?yàn)?span id="rjzfyru" class="MathJye">[-

3

2

，

3

]．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、兩角和的余弦公式和輔助角公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．