Question

已知函數(shù)f（x）=xe^x+x²+ax+b，在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是x+y-1=0，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)g（x）=lnx-cx+1+c（c＞0），對(duì)一切x∈（0，+∞），均有g(shù)（x）≤1恒成立．
（1）求a，b，c的值；
（2）求證：f（x）+xg（x）＞4

x

-2．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,不等式的證明

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線方程可得，f（0）=1，f′（0）=-1，即可解得a，b；對(duì)一切x∈（0，+∞），均有g(shù)（x）≤1恒成立，即有l(wèi)nx-cx+c≤0對(duì)x＞0恒成立．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出不等式左邊的最大值即可，再由lnx≤x-1，即可得到c；
（2）可運(yùn)用分析法，結(jié)合e^x≥x+1，xlnx≥-

1

e

，令t=

x

，即有不等式左邊為t⁴+t²-4t+3-

1

e

，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出最小值，說明它大于0，即可得證．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）=xe^x+x²+ax+b的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=e^x+xe^x+2x+a，
在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是x+y-1=0，
即有f（0）=1，f′（0）=-1，則b=1，a=-2，
對(duì)一切x∈（0，+∞），均有g(shù)（x）≤1恒成立，
即有l(wèi)nx-cx+c≤0對(duì)x＞0恒成立．
由于（lnx-cx+c）′=

1

x

-c（c＞0），則lnx-cx+c在x＞

1

c

遞減，在0＜x＜

1

c

遞增．
則有l(wèi)n

1

c

-1+c≤0，即為lnc+1≥c，
但lnx+1-x的導(dǎo)數(shù)為

1

x

-1，在x＞1遞減，在0＜x＜1遞增，則在x=1處取得極大值，也為最大值，
則lnc+1≤c，故lnc+1=c，解得，c=1，
則有a=-2，b=1，c=1；
（2）證明：要證f（x）+xg（x）＞4

x

-2，
即證xe^x+x²-2x+1+xlnx-x²+2x-4

x

+2＞0，
即證xe^x+xlnx-4

x

+3＞0，
由于e^x-x-1的導(dǎo)數(shù)為e^x-1，當(dāng)x＞0遞增，x＜0遞減，則e^x≥x+1，
xlnx的導(dǎo)數(shù)為lnx+1，當(dāng)x＞

1

e

時(shí)遞增，0＜x＜

1

e

遞減，則有x=

1

e

處取得極小值也為最小值，且為-

1

e

，
則有xe^x+xlnx-4

x

+3＞x（x+1）-

1

e

-4

x

+3，
令t=

x

，則上式的右邊即為t⁴+t²-4t+3-

1

e

，對(duì)它求導(dǎo)，得f（t）=4t³+2t-4，
由于f（0）f（1）＜0，則在（0，1）存在一個(gè)根t₀，易得即為極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，
可得t₀⁴+t₀²-4t₀+3-

1

e

＞0，
則原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．