Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊做兩個(gè)銳角α、β，它們的終邊分別與單位圓O相交于A、B兩點(diǎn)，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為、
（Ⅰ）求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)C為單位圓O上異于A、B的一點(diǎn)，且向量與夾角為，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意及銳角三角函數(shù)定義求出cosα和cosβ的值，再由α、β為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα和sinβ的值，然后把所求的式子利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入即可求出值；
（Ⅱ）設(shè)出C的坐標(biāo)為（m，n），代入單位圓方程中，得到關(guān)于m與n的關(guān)系式，記作①，再由已知的兩向量的夾角，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出夾角的余弦值，整理后得到關(guān)于m與n的另一個(gè)關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②，即可求出m與n的值，從而確定出C的坐標(biāo)．
解答：解：（Ⅰ）依題意得，，…（2分）
∵α，β為銳角，
∴sinα==，sinβ==，…（4分）
則cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=×+×
=；…（6分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，n），
∵C在單位圓上，則m²+n²=1，①…（7分）
∵向量與夾角為，||=||=1，且=（m，n），=（cosα，sinα）=（，），
∴，…（9分）
整理得：，即m+7n=5，②…（10分）
聯(lián)立方程①②，
解得：或…（11分）
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為或． …（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，銳角三角形函數(shù)定義，數(shù)量積表示兩向量的夾角，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．