Question

【題目】如圖，在三棱柱中，已知是直角三角形，側(cè)面是矩形，，，.

（1）證明：.

（2）是棱的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)是直角三角形，，得到，再根據(jù)側(cè)面是矩形，得到，然后利用線面垂直的判定定理得到平面，從而，在平行四邊形中，得到，再利用線面垂直的判定定理得到平面即可.

（2）根據(jù)（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量，的坐標(biāo)，由線面角的向量公式求解.

（1）證明：因為是直角三角形，，

所以.

因為側(cè)面是矩形，所以.

因為，所以平面，

從而.

因為，，，

所以，即.

因為，

所以平面.

所以.

（2）由（1）知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，.

設(shè)平面的一個法向量為，

由，得

令，得.

又，

設(shè)直線與平面所成角的大小為，

則，

所以直線與平面所成角的正弦值為.