Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，且f（x）＞0的解集為（-3，2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x＞-1時(shí)，求y=

f(x)-21

x+1

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，且f（x）＞0的解集為（-3，2），可得方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩個(gè)根為-3，2，進(jìn)而由韋達(dá)定理構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程求出a，b的值，可得f（x）的解析式；
（2）y=

f(x)-21

x+1

=-3[(x+1)+

1

x+1

-1]，當(dāng)x＞-1時(shí)，由基本不等式可得y=

f(x)-21

x+1

的最大值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，且f（x）＞0的解集為（-3，2）．
∴方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩個(gè)根為-3，2．
由韋達(dá)定理知

-3+2=-1= -(b-8) a -3×2=-6= -a-ab a

，
解得：a=-3，b=5，
∴f（x）=-3x²-3x+18．
（2）y=

f(x)-21

x+1

=

-3x2-3x-3

x+1

=-3•

x(x+1)+1

x+1

=-3(x+

1

x+1

)=-3[(x+1)+

1

x+1

-1]，
∵x＞-1，
∴x+1+

1

x+1

≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=

1

x+1

，即x=0時(shí)取等號，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y_max=-3．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是不等式，函數(shù)，方程之間的關(guān)系，基本不等式，是不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．