Question

3．在平行四邊形ABCD中，∠A=$\frac{π}{3}$，邊AB，AD的長分別為2，1，若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足$\frac{|\overrightarrow{BM}|}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{|\overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{CD}|}$，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取值范圍是（　�。�

• A． [1，4]
• B． [2，5]
• C． [2，4]
• D． [1，5]

Answer 1

分析 畫出圖形，建立直角坐標(biāo)系，利用比例關(guān)系，求出M，N的坐標(biāo)，然后通過二次函數(shù)求出數(shù)量積的范圍．

解答 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則B（2，0），A（0，0），
D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），設(shè)$\frac{|\overrightarrow{BM}|}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{|\overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{CD}|}$=λ，λ∈[0，1]，則M（2+$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}λ$），N（$\frac{5}{2}$-2λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
所以$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（2+$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}λ$）•（$\frac{5}{2}$-2λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=5-4λ+$\frac{5}{4}$λ-λ²+$\frac{3}{4}$λ=-λ²-2λ+5，
因?yàn)棣恕蔥0，1]，二次函數(shù)的對稱軸為：λ=-1，所以λ∈[0，1]時(shí)，-λ²-2λ+5∈[2，5]．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查向量的綜合應(yīng)用，平面向量的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．